Klassische Texte der Wissenschaft David Hilbert Kartoniert (TB)

David Hilbert gehört zweifellos zu den bedeutendsten Mathematiker des beginnenden 20. Jahrhunderts, zudem war er wahrscheinlich der letzte, dessen Arbeiten und Interessen noch sämtliche Gebiete der Mathematik überdeckten; auf dem internationalen Mathematikerkongress 1900 in Paris stellte er seine berühmten 23 Probleme vor, die zu einem Programm der Mathematik des neuen Jahrhunderts wurden.Hilbert hat gemeinsam mit Hermann Minkowski in Königsberg studiert, wo sie von Adolf Hurwitz mit den neusten Erkenntnisse der Mathematik bekannt gemacht wurden. Aufsehen erregte Hilbert 1889 mit seinem Existenzbeweis endlicher Basen für Invariantensysteme; 1895 wurde er schließlich nach Göttingen berufen, wo er gemeinsam mit Felix Klein die Göttinger Schule aufbaute, die bis zu ihrer Extinktion im Dritten Reich, zu einem Zentrum für Mathematik von Weltruhm aufstieg.Im ausgehenden 19. Jahrhundert wurde die Mathematik zunehmend strenger, so lieferte Dedekind erstmals eine exakte Definition der reellen Zahlen, mit der sich die Konvergenz- und Stetigkeitskriterien der Analysis rigoros beweisen ließen. Es ist also kein Wunder, dass sich Hilbert, den stets eher die großen Zusammenhänge begeisterten, sich Jahrzehnte lang mit den Fragen der strengen Grundlegung der Mathematik beschäftigte, wobei er sich der axiomatischen Methode bediente. Hilberts erste Arbeit zu diesem Thema behandelt demgemäß die ‘Grundlagen der Geometrie‘ und erschien 1899 im Rahmen einer Festschrift zur Einweihung des Gauß-Weber Denkmals in Göttingen.Die Festschrift stieß auf reges Interesse, wurde rasch in Englische und Französische übersetzt, und Paul Bernays gab 1968 bereits die zehnten Auflage heraus. Das hier vorliegende Buch enthält einen Faksimile Nachdruck von Hilberts Arbeit aus der Festschrift von 1899 mit ausführlichen Einleitungen und Kommentaren von Klaus Volkert.Bereits Euklid hatte sich vor 2000 Jahren in seinen ‘Elementen‘ an einer axiomatischen Grundlegung der Geometrie versucht, er benutzte aber eine Mixtur von Axiomen und Postulaten, stützt sich in seinen Beweisen auch auf nicht weiter begründete Kongruenzargumente und andere anschauliche Bezüge. Hilbert Ansatz merzt diese Imperfektionen nun aus, er beschreibt drei rein abstrakte Systeme, die Punkte, Geraden bzw. Ebenen genannt werden, zwischen denen ebenfalls abstrakte Relationen “liegen“, “zwischen“, “parallel“, “kongruent“ und “stetig“ bestehen, die durch die fünf Axiomgruppen vollständig beschrieben werden. Die Widerspruchsfreiheit des Axiomsystems kann Hilbert durch die Angabe eines analytischen Modells über dem Körper der quadratischen algebraischen Zahlen (pythagoreischer Zahlkörper) zeigen. Danach skizziert er die Unabhängigkeit der Axiome an einigen Fällen. Hilbert widmet sich nun der Rekonstruktion der Euklidische Geometrie aus seinen Axiomen, insbesondere die Lehren der Proportionen und des Flächeninhalts.Den Originaltext leitet Volkert mit einem kurzen Abriss der Geschichte der Axiomatik und einer Skizze der Stationen auf Hilberts Weg zu seinen ‘Grundlagen der Geometrie‘ ein. Der Arbeit folgen ein ausführlicher Kommentar, insbesondere mit einer Diskussion des fehlenden Vollständigkeitsaxiom, sowie Bemerkungen zur Rezeption der Festschrift.Während das Studium historischer Originalarbeiten für Humanisten zum absoluten Standard gehören, hat kaum ein heutiger Physiker je einen direkten Blick in Newtons Principia geworfen. In den mathematisch naturwissenschaftlichen Disziplinen sind die Erkenntnisse der Vergangenheit in der Regel in modernen Darstellung des Gebietes ‘aufgehoben‘. Aber auch hier gilt, was Niels Bohr einst über die Quantenmechanik sagte, nur der wird ein wahrhaft tiefes Verständnis der Theorie erlangen – jenseits der Anwendung ihrer formalen Regeln –, der auch die Geschichte dieser Theorie und die Entwicklung ihrer Begriffe kennt und versteht.In abgewandelter Form gilt das sicherlich auch für Hilberts ‘Grundlagen der Geometrie‘, insbesondere da diese Arbeit auch heute noch gut verständlich ist, wie der Herausgeber betont, obwohl Hilbert weder die Sprache der Mengenlehre verwendet, noch stand ihm damals bereits der Apparat der formalen Logik zur Verfügung. Sie bildete den Ausgangspunkt für sein späteres sogenanntes Hilbertsches Programm, das eine einheitliche Grundlage für diegesamte Mathematik schaffen soll, auf der Basis einer strengen Formalisierung. Diese Ideen wurden in den dreißiger Jahren von Bourbaki, einer Gruppe von Mathematikern um Andre Weil und Jean Dieudonne, wieder aufgegriffen, um die Grundlagen der Mathematik mittels der axiomatische Methode neu zu formulieren und herauszugeben.Um so schöner ist es, dass dieses bedeutende Werk nun im Rahmen der Springer Reihe “Klassische Texte der Wissenschaften“ nun wieder einfach zugänglich gemacht wurde. Das Buch ist exzellent ausgestattet, neben zwei Anhängen zu den Sätzen der Geometrie, die in der Arbeit explizit erwähnt werden, und zu Hilberts Modell, gibt ein ausführliche Literaturverzeichnis, sowie ein Personen- und ein Sachindex.